प्रख्यात गणिती भास्कराचार्य

भारतीय अर्वाचीन गणिती: भास्कराचार्य

– जगदीश काबरे (jetjagdish@gmail.com)

गणिताच्या जागतिक इतिहासात भारतीय गणितींनी अजरामर कार्य करून ठेवलेले आहे. गणिताच्या क्षेत्रात भारतीय गणितींचे चरित्रे हा इतिहास मागे वळून पाहिला तर थोर भारतीय गणिततज्ञांची मालिकाच डोळ्यांसमोर येते. आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त, महावीर, माधवाचार्य, नीलकंठ सोमया, इ. या मालिकेत आपला ठसा जगावर उमटवणारे जेष्ठ व श्रेष्ठ गणितज्ञ 'भास्कराचार्य द्वितीय' यांच्या नावाचा उल्लेख केल्याशिवाय पुढे जाताच येणार नाही. भास्काराचार्यांचा जन्म इ.स. १११४ मध्ये उज्जैन जवळील 'विज्जलविड' येथे झाला. भास्कराचार्यांचे ज्योतिषशास्त्रातील (त्या काळात खगोलशास्त्र ही संज्ञा अस्तित्वात नव्हती. म्हणून आकाशातल्या ज्योतींचा अभ्यास करणारे ते ज्योतिषी, असे सगळ्या खगोलशास्त्रींना म्हटले जायचे.) त्यांच्या घराण्यात पूर्वीच्या सहा पिढ्या गणिताच्या अभ्यास करणाऱ्या होत्या. त्यापैकीच 'ब्रम्हगुप्त' हे एक होते.

भास्कराचार्य हयात असता त्याची शाळा कोठे होती, तो कोणत्या राजाच्या पदरी ज्योतिषी होता, त्याच्या मठाला कोणी अनुदाने व अग्रस्थाने (जमिनी) दिली, यासंबंधी आपल्या इतिहासाच्या दस्तऐवजीकरणाच्या अनास्थेमुळे काहीच माहिती हाती लागत नाही. त्याच्या वंशांतील नऊ पिढ्यांतील पुरुषांची नावे मात्र त्रिविक्रम- भास्करभट्ट- गोविंद - प्रभाकर- मनोरथ महेश्वर- भास्कर - लक्ष्मीधर - चंगदेव ताम्रपटात आढळतात. भास्कराचार्य हा अत्यंत कुशाग्र बुद्धीचा विद्यार्थी होता. 'लीलावती' ग्रंथाच्या समाप्तीच्या श्लोकांत (श्लोक २६१) व जेथे भास्कराचार्य आपला कुलवृत्तांत देतो (गोलाध्याय, प्रश्नविचार ६१), या दोन्ही ठिकाणी त्याचे शिक्षण त्याच्या वडिलांजवळ झाले असे तो म्हणतो. बीजगणितांतल्या...

आसीत् महेश्वर इति प्रथितः पृथिव्याम् । आचार्यवर्यपदवीं विदुषां प्रपन्नः ।। लब्धावबोधकलिकां तत एव चक्रे । 

तज्जेन बीजगणितं लघु भास्करेण ।।

या श्लोकावरून त्याचे वडील महेश्वर हे त्याचे गुरु होत. त्यांना विद्वान् मंडळींनी आचार्य ही पदवी दिली होती. त्यांच्यापासून भास्कराचार्याने ज्ञान ग्रहण केले होते व त्यांच्यापाशीच त्याने बीजगणिताचे पाठ घेऊन बीजगणित शिकल्याचे तो सांगतो. 

काव्य, व्याकरण, गणित, ज्योतिष वगैरे विषयांचा त्याचा व्यासंग सर्वांग परिपूर्ण होता. पूर्वकाळी आचार्य पदवी मिळविण्यास किती ग्रंथांचें अध्ययन करावे लागत असे हे २६१ व्या श्लोकावरून समजून येते. गणेश दैवज्ञाने आपल्या टीकेंत त्याला 'गणकचक्रचूडामणि' ही पदवी अर्पण केली आहे. गणित व ज्योतिष हे विषय शिकविण्यांत तो निष्णात होता. त्याकाळची विद्वान् मंडळी भास्कराचार्याच्या शिष्यांशीं वादविवाद करण्यास कचरत असत हे ताम्रपटांतील श्लोकांवरून दिसून येतें. भास्कराचार्याचा 'सिद्धांत शिरोमणी' हा गणितावरील प्रमुख ग्रंथ आहे. हा ग्रंथ त्याने वयाच्या ३६ व्या वर्षी लिहून पुरा केला. या ग्रंथाचे लिलावती, बीजगणित, ग्रहगणिताध्याय, गोलाध्याय असे चार खंड आहेत. 

१) लीलावती' मध्ये बीजगणित व महत्वमापन यावर २७८ श्लोक आहेत. हा मुख्यत्वे करून 'पाटीगणित' म्हणजे अंकगणितासंबंधी असला तरी यामध्ये संख्यांच्या स्थानसंख्यांची बेरीज, वजाबाकी इत्यादी तसेच व्याज, गणितीय व भूमितीय श्रेढी, प्रतलीय व घनभूमिती, कुट्टकगणित व कांही परिणामांची कोष्टके दिली आहेत.

२) 'बीजगणित' या दुसऱ्या खंडात २१३ श्लोक आहेत. यामध्ये अज्ञात संख्या दर्शवण्यासाठी अक्षरांचा वापर केला होता. तसेच धन, ऋण, शून्य, अव्यक्त करणीसंख्या, कुट्टके, एकवर्षी, अनेकवर्णी, द्विघात समीकरणे, अव्यक्तांच्या गुणाकाराच्या क्रिया याविषयी माहिती दिलेली आहे. 'बीजगणित' या खंडाचे बारा अधिकार (प्रकरणे) असून त्यापैकी कुट्टक व चक्रवालाख्य वर्ग प्रकृती ही प्रकरणे विशेष उल्लेखनीय आहेत.

३) 'ग्रहगणिताध्याय' या तिसऱ्या खंडात ४३४६ श्लोक आहेत. यात ग्रहासंबंधीचे व पंचांगाचे गणित दिलेले आहे.

४) 'गोलाध्याय' या चवथ्या खंडात २१०० श्लोक असून गोलाचा अभ्यास, स्वरूप, भूगोल व खगोल, खगोलीय सहनिर्देशक, दर्शक गोलाची कृती, गोलीय, त्रिकोण-मितीची तत्वे, ग्रहणांचे गणित असे १३ विभाग आहेत. गोलाध्याय या खंडात गुरूत्वाकर्षणाच्या नियमांचे विवेचन केले आहे. तसेच गोलाचे घनफळ, पृष्ठफळ काढण्याच्या पद्धतीही दिल्या आहेत.

ज्याप्रमाणें 'लीलावती' हा अंकगणितावरील उत्कृष्ट ग्रंथ आहे, त्याचप्रमाणें 'बीजगणित' हे अव्यक्त गणितावरचे उत्कृष्ट पुस्तक आहे. या पुस्तकावरही अनेक टीकाग्रंथ झाले. जगांतील प्रमुख भाषांतून लीलावती व बीजगणित यांची भाषांतरे झालेलीं आढळतात. बीजगणितावर कृष्णदैवज्ञाची 'नवांकुरा' म्हणून प्रसिद्ध टीका आहे. हा कृष्णदैवज्ञ जहांगीर बादशहाच्या पदरी ज्योतिषी होता. त्याची टीका इ. स. १६१२ मधली आहे. बीजगणिताचे फारसी भाषांतर शहाजहानच्या कारकीर्दीत अताउल्ला रसीदी या ज्योतिषाने इ. स. १६३४ त केले. स्ट्राची या इंग्रज लेखकाने १८१३ या साली इंग्रजी भाषांतर केले. कै. खानापूरकर शास्त्री यांनी १८९७ साली मराठीत भाषांतर केले. पंडित सुधाकर द्विवेदी यांनी १९२४ साली संस्कृत टीकेसह 'बीजगणित' प्रसिद्ध केले. यांत मुख्यत्वेंकरून कुट्टक, वर्गप्रकृति, चक्रवालपद्धति या विषयांचा अंतर्भाव होतो.

गणिताध्याय व गोलाध्याय हे विषय त्या मानानें क्लिष्ट असल्यानें त्यांकडे पौर्वात्य वा पाश्चात्य विद्वानांचे लक्ष तितके खेंचले गेले नाहीं. तथापि ज्योतिःशास्त्र (Mathematical Astronomy) या विषयाच्या सर्व अध्यापकांनीं व विद्यार्थ्यांनीं हे ग्रंथ वाचलेच पाहिजेत इतक्या महत्त्वाचे ते आहेत. पृथ्वी स्थिर आहे असे भास्कराचार्य गोलाध्यायांत म्हणतो. पण हें मत इ. स. १४०० पर्यंत युरोपांतही प्रचलित होतें. गणिताध्यायांत चंद्रसूर्यांच्या गति, भ्रमणें, ग्रहणें वगैरे गहन व क्लिष्ट विषय आलेले आहेत. याशिवाय भास्कराचार्याचे अनेक ग्रंथ आहेत. ते म्हणजे 'करणकुतूहल', 'सर्वतोभद्रयंत्र' 'वसिष्ठतुल्य' व 'विवाहपटल' हे होत. या सर्व ग्रंथाच्या मूळ हस्तलिखित प्रती आज आपल्याच अनास्थेमुळे कुठेच उपलब्ध नाहीत. प्राचीन वस्तूंचे जतन कसे करावे ही कला आम्हां महाराष्ट्रीयांना ठाऊक नाही. तथापि लीलावतीची सटीक हस्तलिखिते अजून उपलब्ध आहेत.

पायथागोरसच्या प्रमेयाची काटकोन त्रिकोणासंबंधीची एक सिद्धताही त्यांनी मांडली होती ही सिद्धता कांही गणित तज्ञांच्या मते पायथागोरसच्या मूळ सिद्धतेशी वरीच मिळती जुळती आहे. गणितातील अनंत या संकल्पनेचा सर्वात पहिला सदर्भ त्यांच्या 'सिद्धांत शिरोमणी' या ग्रंथातील बीजगणित ह्या खंडात आलेला आहे. पुढे सिद्धांत शिरोमणी या ग्रंथाची फार्सी, इंग्रजी, मराठी, गुजराती, कन्नड, तामीळ भाषांत भाषांतरे झाली आहेत.

लीलावतीतील श्लोकांतून भास्कराचार्याने अनेक प्रकारचें कौशल्य दाखविलें आहे. धर्म, वेद, पुराणे, महाकाव्ये यांची जाता जाता विद्यार्थ्यांना माहिती व्हावी हा एक महत्त्वाचा उद्देश असल्यामुळे त्याने गणिताच्या प्रश्नात या सर्व गोष्टींचा वापर केलेला आहे. 'पार्थ कर्णवधाय' हा श्लोक रथासंबंधीं सर्व माहिती देण्यास उपयुक्त आहे. अर्जुनाचा कर्ण हा भाऊ असला तरी प्रामुख्यानें वैरी होता, ही गोष्ट विद्यार्थ्याच्या निदर्शनास आणली गेली आहे. पण याहीपेक्षा ह्या श्लोकांत प्रत्यक्ष लढाईचा देखावा वाचकांपुढे ठेवला आहे. कालिदासाच्या शाकुंतलांतील 'ग्रीवाभंगाभिरामम्' या श्लोकाशी वरील श्लोकाची तुलना होऊं शकेल. हंसांच्या समूहाचे वर्णन किंवा हत्तींच्या कळपाचे वर्णन, भुंग्यांच्या कळपाची संख्या, पाळलेल्या मोराचें सापावर तुटून पडणे, कमळ वाऱ्याच्य झोताने पाण्यांत बुडणे इत्यादि सर्व गोष्टी विद्यार्थ्यांस निसर्ग सान्निध्यांत घेऊन जातात व विषय कंटाळवाणा होत नाही. भास्कराचार्याने कोठेच सूत्रसिद्धि दिलेली नाहीं, याचे कारण काय असेल? अर्थात् पूर्वीचे आचार्य सूत्रसिद्धि देत नव्हते. कारण ती सूत्रे काव्यामध्ये गुंफत होते. म्हणून त्यांना सूत्रसिद्धि आवश्यक वाटत नव्हती. भास्कराचार्यानें पूर्वसूरींच्या पावलावर पाऊल ठेवून सूत्रसिद्धि दिली नाहीं, पण उदाहरणें मात्र भरपूर दिलेली आहेत. आर्यभट्ट ते भास्कराचार्य या ७०० वर्षाच्या काळात शास्त्रीय ग्रंथ कविता रूपात लिहिले जात व सिद्धांताचे स्पष्टीकरण किंवा सिद्धता देण्याच्या खटाटोपात कोणीच पडत नसेल, याला भास्कराचार्य ही अपवाद नव्हता. पण त्यामुळे भारतीय गणितशास्त्राचे केवढे नुकसान झाले आहे हे आता आपल्या लक्षात येत आहे. कारण सैद्धांतिक उपपत्ती लिहून तिचे दस्तऐवजीकरण करण्याची कमतरता पाश्चात्य शास्त्रज्ञांनी भरून काढल्यामुळे ते आज विज्ञानात अग्रेसर ठरले आहेत.

भास्कराचार्य हा दृकप्रत्ययवादी ज्योतिषी होता. ग्रहणें, युत्या, वगैरे अंतरिक्ष चमत्कार पंचांगांत दिलेल्या वेळेवर होत नसतील तर पंचांगें सुधारली पाहिजेत असे त्याचे मत होते. सनातनी लोक पुष्कळदा कांही चुकीच्या कल्पना उराशी बाळगीत. त्यात राहू व केतु, चंद्र व सूर्य यांना ग्रहणकाली गिळतात अशी एक खुळी कल्पना लोकांत दीर्घकाल रूढ होती. वास्तविक चंद्रग्रहणसमयी चंद्र पृथ्वीच्या छायेत गेल्यामुळे अदृश्य होतो. भास्कराचार्याला ही गोष्ट ठाऊक असूनही लोकांना ती पटविणें कठीण होते. तो लोकांना सांगे की, 'मंडळींनो, राहूकेतू नांवाचे राक्षस नाहीत. पृथ्वीची छायाच चंद्राचा ग्रास करते. पण तुम्हांला राहू हवाच असेल तर असे म्हणा की, 'राहूने पृथ्वीच्या छायेत शिरून चंद्राचा ग्रास केला.' अशा रीतीनें जुन्या-नव्याचा समन्वय तो करीत असे. तो सुधारणावादी व्यवहारी शास्त्री होता. असे असले तरी तत्त्वाला मुरड घालण्यास तो तयार नसे. गणितासारख्या अमूर्त आणि गहन विषय मनोरंजनात्मक व काव्यामय पद्धतीने शिकविणारे ते आद्य पंडित होते. अशा या थोर गणितीने जे संशोधन केले त्याला इतिहासात तोड नाही. भास्कराचार्यानंतर महाराष्ट्रांत तरी विद्वान् व प्रसिद्ध असे गणिती फारसे झालेच नाहींत. त्याच्याच ग्रंथाची घोकंपट्टी करणारे बरेच होते, पण नवीन संशोधन करणारे असे विद्वान, १७ व्या शतकाच्या अखेरीपर्यंत, थोडेच झाले. त्यांत नांव घेण्यासारखे दोनचारच असतील.

भास्कराचार्य शेवटपर्यंत प्रकृतीनें धडधाकट होता. तो वयाच्या ७९ व्या वर्षी, इ स ११९३ मध्ये वारला. त्याच्या नंतरच्या काळांत भारतीय गणित एकदम मागें पडलें. आमची विज्ञानगंगा लुप्त झाली. त्याला अनेक कारणें झाली. त्यातील सर्वात महत्त्वाचे कारण म्हणजे आपला समाज नंतर चातुर्वण्याधिष्ठित जाती व्यवस्थेत घट्ट गुरफटत गेला आणि अंधश्रद्धांच्या खाईत लडबडत राहिला. त्यामुळे ज्ञानगंगा आटली आणि अंधश्रद्धा फोफावल्या. न्यूटनच्या योग्यतेच्या गणितज्ञास खरे म्हणजे आपल्या या पूर्वसूरी विद्वानांच्या आधारे पुढील शोध लागावयास हरकत नव्हती. असो. पण भास्कराचार्याला दशांश अपूर्णांक ठाऊक नव्हते. त्यांचा शोध इटालीत १६ व्या शतकात लागला. भास्कराचार्यास न्यूटनचा द्विपद-सिद्धांत कसा सुचला नाही हे एक कोडेच आहे. लॉगरिथमची कल्पना त्याला आली असती तर त्याचें

 ज्या-साधन, आहे यापेक्षा त्याला सोपे करता आले असते. पृथ्वी जड वस्तूस आपल्याकडे आकर्षिते हे त्याला ठाऊक होते. पण बल = प्रवेग x वस्तुमान (F=ma) हें सूत्र मात्र त्याला सुचलें नाही. शून्यलब्धि ह्या शास्त्राचा शोध त्याला लागला नाही. तात्कालिक गति (instantaneous velocity) त्याला माहीत असूनही चलनकलनशास्त्रास तो मुकला. दीर्घवृत्त अन्वस्त, अपास्त, (ellipse, parabola, hyperbola) यांचे त्यास सम्यक् ज्ञान नव्हते. या काही गोष्टी त्या काळात पाश्चिमात्यांनाही ठाऊक नव्हत्या. मग त्या भारतीयांना ज्ञात झाल्या नाहींत तर ते दोषार्ह नाही. पण बैजिक व भौतिक प्रश्नांची सैद्धांतिक उकल जर त्याने दिली असती तर तो आहे याहूनही अधिक थोर गणिती झाला असता. तथापि आहे या कर्तबगारीवरही त्याचे स्थान प्राचीन व अर्वाचीन गणितज्ञांत पहिल्या दहांत आहे, हे निश्चित.